容斥问题是数量考试中较为基础，相对简单的一种题型，有固定公式和套路，这部分题目相对来说好拿分，建议大家在考试中这部分题目不要舍弃。

　　那什么是容斥问题呢?比如说，班级共有50人，30人喜欢吃苹果，35人喜欢吃梨，求两种水果都爱吃的有多少人?满足情况A，满足情况B，两种情况都满足，提到“都”或者“都不”这样的题目，我们一般就可以判定为容斥问题了。容斥问题常考的题型有两种，两集合容斥和三集合容斥，下面我们一起来学习一下。

　　一、两集合容斥：

　　总情况数=A+B-AB+都不满足的情况数

　　【例1】运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1~100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人?

　　A. 46​

　　B. 47

　　C. 53​

　　D. 54

　　【解析】第一步，标记题目中出现词语“既不”、“又不”，可以确定这是一道容斥问题;

　　第二步，编号为3的倍数的运动员有人，即33人;

　　编号为5的倍数的运动员有人，即20人;

　　同时是3、5的倍数的运动员(15的倍数)有人，即6人。

　　第三步，设“既不”参加开幕式“又不”参加闭幕式队列的运动员有x人，根据两集合容斥公式，可得100=33+20-6+x，解得x=53。因此，选择C选项。

　　二、三集合容斥

　　标准型：总数=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不满足的情况数

　　当题目中出现既满足情况A又满足情况B，既满足情况B又满足情况C，既满足情况A又满足情况C，出现类似这样的字眼便可以确定为三集合容斥标准型题目了，具体如何应用我们来看下面这道题目。

　　【例2】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?

　　A. 14

　　B. 15

　　C. 16

　　D. 17

　　E. 18

　　F. 19

　　G. 20

　　H. 21

　　【解析】第一步，标记题目中出现词语“都”、“都不”，可以确定这是一道容斥问题，属于三集合容斥标准型类，用公式法解题。

　　第二步，按照三集合容斥标准型公式，直接设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18，可用尾数法计算。因此，选择E选项。

　　以上这两种相对来说是较为基础的题型，除此之外容斥问题还会考察非标准型的容斥题目，那什么是三集合标准型题目，什么是三集合非标准型题目，具体如何判别二者之间有什么联系，又有何区别，值得大家思考和学习。要想熟练掌握容斥问题以及数量关系，大家可以选择华图教育线下课程或者选择华图在线的线上课程，系统地学习来提升自己的成绩。

　　黑龙江分院